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0.9999…=1をナントナク納得する   

はなひめからの質問で、
「分数は分子割る分母っていうけど、1/3 = 0.3333…だとしたら、それを三倍した1 = 0.9999…がおかしくない? だって、0.9999…って、1にすごーく近いけど1ではないでしょ??」
というのがあった。

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これはすごーくいい質問なので、はなひめは算数が苦手なように見えていたけど、なかなかいいセンスしてるじゃん♪と小躍りしそうになってしまった母ではあるが、よく聞いてみると、塾で誰かほかの子が口に出した疑問点で、でも先生はその場ではあまり答えず流してしまい、心にひっかかっているんだって。なーんだ。

ま、先生にしてみれば、そんなとこ中学受験には出やしないし、そんな横道に逸れたらその単元が終わりゃしないから流すのもしょうがないだろう。

私からはなひめには、「それはとっても大事なポイントで、つまり0.9999…というのは1に近い数ではなくて、ほんっとに1なんだよ。声に出して0.99999きゅうきゅう…って寿命が尽きるまで唱えたってそれは有限回しか言えないけど、0.9999…というのはそれをマジ『無限回』並べた結果なの」といってみたが、なかなか信用されないらしい(^^;;

そういう話を厳密にするのは私が大学入学早々つまづいた「イプシロンデルタ」のあたりなんだろうか、そんなのは私自身わかってないんだから説明してあげようがないが、高校数学で無限数列の和とかやってるとなーんとなく、ちょっと納得したような…でも小学生の範囲で説明するには何だろう??

はなひめは、役に立たない母をほっといて、年の近いこじろうに同じ質問を投げかけてみた。すると、こじろうは「ふんふん、アキレスと亀だね」とかもっともらしいことをいいながら、はなひめには説明しようとしない。っつかできないんだろうけれども、こじろう的には、なーんとなく、「結局実際にはアキレスが亀を追い越すんだから」というような納得をしているのかもしれない。

そこで「数学的センス(野崎昭弘)」という本をひっぱり出してきて該当箇所を探してみると、あったあった、まさにこの話題。0.3333…=1/3 もすでにウサン臭さが漂っているが、それを三倍にすると(0.9999…=1)、「信じない人の方が多い」とまで言っている(笑)

この話が出てくるのは「第13話 「無限」のセンス」という章で、章の導入はやっぱり「アキレスと亀」。そして、この無限小数の話のところでは「"…"は、「どこまでも加えてゆけ」という行動ではなく、「すべて加えた」結果を表している」という説明をしている。

説明というか、これは納得できない人を納得させるものになっていないので、紙を無限に切り刻んでいく例も出している。

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要するに、もともと2m2の紙を、いちまいがにまい、にまいがよんまい…と切っていくわけね。理想的に切れる剃刀で、しかも分子などというツブツブもない理想的に連続な紙を切っていくものとして、現に細かく切ったとすれば

2=1+1/2+1/4+1/8+…

というふうになる。これはもともとの紙の大きさが決まっているだけに、納得しやすくていい例だと思う。

私がそうやって本をぱらぱらめくっている間に、はなひめは、こじろうとあーでもないこーでもない、と話をしながらあるひとつの納得にたどり着いた。

1 - 0.9999… = 0.0000…

1 から 0.9999… を引いたとすれば、0.0000…と0が無限に続くことになる。最後の最後に「1」と言おうと思って待ちくたびれているのだが、なにしろ0が無限に続いたあとでないと言わせてもらえないので、永遠に待ち続けていて、決して言えることがない

これは、シンプルでうまい納得の仕方だと思う。別に、証明はできないのが当たり前だし納得もできなくてもかまわないのだが、やっぱり自分なりの納得ができたほうが気分がいい。あまり納得を求めて時間を空費するのも中学受験的にはうれしくないが、まったく納得を求めない態度も味気ない。ほどほどに…

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by an-dan-te | 2011-06-26 16:46 | 中学受験 | Comments(0)

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